Книги PDF » Математика » Гомологическая алгебра - Гельфанд С.И., Манин Ю.И.

Гомологическая алгебра - Гельфанд С.И., Манин Ю.И.

Скачать
Название: Гомологическая алгебра
Автор: Гельфанд С.И., Манин Ю.И.
Категория: Математика
Тип: Книга
Дата: 09.01.2009 11:08:19
Скачано: 227
Оценка:
Описание: 1. Гомологическая алгебра сравнительно молода. Ее предмет восходит к двум сериям исследований конца прошлого века, давшим начало комбинаторной топологии и «современной алгебре» (в смысле ван дер Вардена) соответственно. В качестве главных понятий, унаследованных от этого раннего этапа, можно назвать числа Бетти топологических пространств и «теорему о цепях сизигий» Д. Гильберта (1890 год). Сейчас мы легко различаем общую конструкцию, с которой связано возникновение этих понятий. Топологическое пространство X склеено из клеток (или симплексов) разных размерностей i; граница клетки есть линейная комбинация клеток; граница границы равна нулю: t'-e число Бетти есть количество независимых цепей с нулевой границей (циклов) с точностью до цепей, которые сами являются границей, то есть ранг группы Ker 6\/Im д^\, 6\ : С{-^С{-\— граничный оператор, Сг — t-мерные цепи. «Сизигии» возникают из другой задачи. Пусть М — градуированный модуль с конечным числом образующих над кольцом многочленов A = k{xu ■ ■ ■ ,хп] над полем k (градуированных степенью). Гильберт рассматривал случай, когда М — идеал в А, порожденный формами. Вообще говоря, образующие М нельзя выбрать независимыми. Фиксировав систему г0 образующих, мы получаем подмодуль в Аг°. состоящий из коэффициентов всех соотношений между выбранными образующими. Он естественно градуирован и называется «первым модулем сизигий» Zo(M) модуля М. Положим Zi(M)=Z0(Zi-i(M)) для С^1 (на каждом шаге возникает произвол в выборе системы образующих Z;_i(.M)). Теорема Гильберта утверждает, что Zn-i (M) — свободный модуль, то есть всегда можно считать, что Zn(M)=0. Алгебраический костяк обеих конструкций —это комплекс: последовательность модулей и гомоморфизмов ...->Кt-^-Кi_\-»-... с условием дг_1д(=0. Комплекс цепей пространства X определяет его гомологии Н1(Х) = К^т dil\mdi+v Комплекс Гильберта состоит из свободных модулей. Он ацикличен, кроме конца: Z,(yW) —это одновременно циклы и границы свободной резольвенты модуля М\ д, до . д'п.*. a'b-i_>. ,..-+ATl-*A r"-*0- М^Кег<Э0=ЛГо/1тд1 Оба комплекса — цепи пространства X и резольвента модуля М — определены далеко не однозначно: они зависят от выбора разбиения X на клетки или от выбора последовательных систем образующих модулей сизигий. Содержание первых
Файл: 2.58 МБ
Скачать