Книги PDF » Математика » Математическая энциклопедия (т.5)

Математическая энциклопедия (т.5)

Скачать
Название: Математическая энциклопедия (т.5)
Автор: неизвестен
Категория: Математика
Тип: Книга
Дата: 12.01.2009 13:05:53
Скачано: 439
Оценка:
Описание: СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА — одно из основных понятий теории вероятностей. Роль понятий С. в. и ее математического ожидания впервые ясно оценил П. Л. Чебышев (1867, см. [1]). Понимание того факта, что понятие С. в. есть частный случай общего понятия функции, пришло значительно позднее. Полное и свободное от всяких излишних ограничений изложение основ теории вероятностей на основе теории меры дано А. Н. Колмогоровым (1933, см. [2J); оно сделало совершенно очевидным, что С. в. есть ни что иное, как измеримая функция на каком-либо вероятностном пространстве. Это обстоятельство весьма важно учитывать даже при первоначальном изложении теории вероятностей. В учебной литературе эта точка зрения юследовательно проведена впервые У. Феллером (см. предисловие к [3], где изложение строится на понятии пространства элементарных событий и подчеркивается, что лишь в этом случае представление о С. в. становится содержательным). Пусть (Q, Л, Р) — вероятностное пространство. Однозначную действительную функцию Х — Х (со), определенную на Q, наз. случайной величиной, если при любом действительном х множество {со : X (а>)<х} входит в класс Л- Пусть X — какая-либо С. в. и Лх—класс тех CcR1, для к-рых {со : X (ш)£С}£Л; это будет о-алгебра. Класс Six всех борелевских подмножеств числовой прямой Rt во всяком случае содержится в Лх- Меру Р%, определенную на > х} = Р {ш : X (со) < х}. Значения вероятностей Р {со : X (со)£С}; С£Лх (т- е. значения меры, служащей продолжением распределения Рх на о-алгебру Лх) по функции распределения Fx однозначно, вообще говоря, не определяются (достаточным для такой однозначности является т. н. условие совершенности меры Р, см. Совершенная мера, а также [4]). Указанное обстоятельство надо постоянно иметь в виду (напр., при доказательстве того, что распределение С. в. однозначно определяется по его характеристической функции). Если С. в. X принимает конечное или счетное число попарно различных значений хг, х2, ■ ■ ., хп, ... с вероятностями ри ..., рп, ... р„ = Р {со : X (ы)=хп}, то ее распределение вероятностей (называемое в этом случае дискретным) задается формулой Рх(А) = 2,Хп€АРп-Распределение С. в. X наз. непрерывны м, если существует функция р (х) (плотность вероятности) такая, что х Px(B)=[BPx(x)dx для всякого интервала В (или, что то же самое, для любого борелевского множества В). В обычной терминологии математич. анализа это означает абсолютную непрерывность Р^ по отношению к мере Лебега на R1. Ряд общих свойств распределения вероятностей С. в. достаточно полно описывается небольшим коли-
Файл: 19.63 МБ
Скачать